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1、平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1+ ye2。

2、用反证法证明:假设存在 另一对实数 m,n 满足 me1+ye2=a又 xe1+ye2=ame1+ye2=xe1+ye2(m-x)e1=(y-n)e2因为e1,e2不共线所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n与假设矛盾所以得证 推广:已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是:存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC。

3、 证明:(充分性) ∵x+y+z=1 ∴ z=1-x-y 又∵OP=xOA+yOB+zOC ∴ OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC) ∴ CP=xCA+yCB 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内 ∴ 充分性成立(必要性) ∵点P位于平面ABC内 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得 CP=xCA+yCB ∴ OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC) OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC 令z=1-x-y 则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC 即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC ∴ 必要性成立。

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