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的教会学校学习。但是，阿贝尔似乎不太适应那里的生活，开始两年，学习成绩还算差强人意，接着分数就逐步下滑。在学校里，阿贝尔时常变得忧郁，他害羞，害怕孤单。他哥哥汉斯的情况则更糟，患上了神经衰弱，最后不得不被送回家。的陈省身到清华大学教课，吴文俊与曹锡华同行。在清华，吴文俊和曹锡华同住一间宿舍。吴文俊每晚攻关惠特尼乘积公式到深夜，觉得证明出来了才上床睡觉，早晨一醒来，对曹锡华说证出来了。到晚上时发现证明有错，于是继续攻关，第二天早晨醒来，又对曹锡华说证好了，到了下午发现证明还有漏洞，如此反复多次，终获成功，这篇成果最终发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上。这样看来，天才除天资超常之外，也是艰苦漫长勤奋之路的必然结果。华罗庚那句“聪明在于勤奋，天才在于积累”的名言就是对阿贝尔最好的诠释。后，形式化地使用无穷级数风靡一时，常用来表示函数和微分方程的解。这种形式的无穷推广所起的作用绝对不可低估，只有有了无穷表达式，才能将具体的函数向前推进一步，得出一般的函数，当然在取得丰硕成果的同时也得出了一些诸如1＋2＋4＋8＋…＝-1这样的错误结果，但在当时这被认为是正确的。直到19世纪初，数学家们才开始考虑将分析算术化并建立在严格的基础上，而分析的严格化正是从阿贝尔开始的。处收敛，则在<处也收敛。而这首先要确定无穷级数收敛的判据，阿贝尔(1826)是继柯西(1821)之后首先给出收敛性判据的。如今这两个结果普遍为我们熟悉，翻译成现代语言为：收敛的充要条件为：对于任意的，存在正整数，使得当和时，均有单调有界，级数收敛，则级数收敛。反演可得到圆函数一样，勒让德毕生研究椭圆积分，却从来没想到把椭圆积分反演。椭圆积分的一般形式为，其中是，的有理函数，是的3次或4次多项式（无重因子）的平方根。比如双纽线的弧长就是最简单的椭圆积分，将这个积分反演，就可以得到一个椭圆函数。这个结果高斯在1797年就已经得到了，但众所周知，高斯有很多结果没有发表，这个结果也不例外。的积分，其中是，的有理函数，，满足。显然阿贝尔积分和阿贝尔函数是椭圆积分、椭圆函数的推广。从椭圆函数到阿贝尔函数的推广成为19世纪数学的主流之一。所有伟大的数学家都在这个方面做出贡献，这里我们只需提一下黎曼和魏尔斯特拉斯的大名。这项发展主要由德国数学家完成，但法国数学家也有贡献，特别是将5次方程和椭圆函数联系在一起的埃尔米特(C. Hermite，1822-1901)曾评价道：“阿贝尔留下的工作，够以后数学家忙上150年。”不论从五次代数方程的求解还是从椭圆函数来看，我们都不应该忘记阿贝尔的思想：你必须经常反过来思考问题。处落在最低点0处所需的时间为高度的已知函数，求曲线形状。这里主要指椭圆函数，而不是代数方程，另有说法说够数学家忙上500年。参考文献

1. N.H. Abel. Oeuvres Completes de N.H. Abel. L.S ylow, S. Lie(eds.)2vols., Christiania, 1881.

2. O.Ore, Niels Henrik Abel. Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press, 1957.

3. 胡作玄，《近代数学史》, 山东教育出版社, 2006.

4. Stubhaug, Arild. Niels Henrik Abel and His Times. Trans. by Richard R. Daly. Springer, 2000.

5. Niels Henrik Abel: Le Grand Mathématicien(1802-1829)Centreculturel de Frolands verk. 2002.

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作者简介：邓明立，河北师范大学教授，《数学文化》期刊编委。